Сайт Александра Зеленина

Условия задачи: Бесконечно длинный проводник с потерями возбуждается одновременно по всей длине импульсом-ступенькой. Оценивается поле Е и Н в окрестностях проводника.

Имитация бесконечного проводника с возбуждением по всей длине сделана из двух резистивных источников и двух плоскостей симметрии.

Счетный объем: 270х3х100, шаг равномерный 1 см, верх и низ - симметрия по Н. Счет велся до 200 нс.

Проводник: два последовательных источника с сопротивлением по 1 Ом каждый. Координаты источников - 49х1х50 и 49х2х50. Ориентация вертикальная (вдоль Y). В результате с учетом симметрии получается бесконечная цепочка источников.

Входное напряжение: импульс с фронтом 2,2 нс, длительность - "бесконечность", амплитуда 1,67 В.

Оценивается: амплитуда тока в проводе (I), длительность поля Е на полувысоте на расстоянии 0,5 м (х=99) от провода (Te_0,5), амплитуда поля Н на расстоянии 0,5 м (H_0,5) (х=99) и 2 м (H_2,0) (х=249) от провода. Точки вывода находятся по оси Х от проводника со стороны увеличения Х.

Теоретически должны происходить процессы:

1) Ток проводника I в установившемся режиме равен напряжению 1,67 В, деленному на 1 Ом, поле Н вычисляется как поле от постоянного тока, когда процесс становится стационарным. Поле Н растет до своего максимума и остается далее практически неизменным, значение поля в установившемся режиме Н=I/(2pr), где r- расстояние от проводника до точки наблюдения;

2) Поле Е вначале быстро нарастает, а затем плавно спадает, стремясь к нулю.

3) Картина поля должна быть симметрична относительно проводника.

Результаты вычислений

Таблица 1 - Результаты через 500 нс счета:

Примечания:

* Граничные условия PML: профиль потерь параболический, коэффициент отражения 1% (0,01), количество слоев - в обозначении.

** Доверительный интервал - это интервал, равный 1/(5fc), где fc - нижняя частота по Беренгеру.

*** Время счета до 500 нс (с шагом 0,95 от условия Куранта) для процессора Duron-1100 МГц.

В таблице 2 представлены картины распределения поля |Н| через 200 нс счета.

С условиями Мура напряженность поля Е доросла до максимума и осталась такой до конца счета, полностью нарушив физическую картину поля. Результат неудовлетворительный, даже ток в проводнике получился в 1,5 раза меньше нормы. Итак, условия Мура совсем не справились с данной задачей.

С условиями RT спадает не только электрическое поле, но и магнитное, чего быть не должно. Результат неудовлетворительный, т.к. физическая картина для поля Н неверная.

С условиями 1/R физика процесса в целом правильная, но большая погрешность. Результат на тройку. Удовлетворительно.

Условия PML: PML-19 и 15 имеют доверительный интервал больше или равный интервалу счета, поэтому результат практически одинаков и весьма точен.

PML-12 с доверительным интервалом 250 нс имеет такую же картину поля через 200 нс, как и PML-15 и 19, но результат к концу счета (500 нс) для амплитуды полей H несколько отличается от PML-15 и 19. Это связано с тем, после 250 нс возникли небольшие колебания амплитуды.

С условиями PML-9 (доверительный интервал 100 нс) колебания амплитуды возникли, соответственно, раньше, но к 200 нс картина поля еще неплохая. Да и к концу всего интервала 500 нс, который для PML-9 как раз равен 1/(fc), результат PML-9 все же хороший, если устраивает возникшая погрешность.

При уменьшении доверительного интервала с условиями PML-7 и PML-5 картина поля при 200 нс продолжает ухудшаться.

Длительность поля Е_0,5 (Te_0,5) не меняется при всех вариантах PML, потому что носит импульсный характер и сравнительно небольшую длительность.

Таблица 2 - Распределение модуля поля |Н| через 200 нс:

Примечание. * PML-9 отличается от представленной картинки, но совсем мало.

Цветовая шкала к таблице 2, логарифмический масштаб, в А/м:

Красным цветом показано поле с уровнем > 0.95 А/м. Ограничения сверху, как может показаться из рисунка, нет.

Таким образом, поскольку источник сигнала широкополосный и имеет максимум спектра на нулевой частоте, то результат для PML зависит от соотношения интервала наблюдения и доверительного интервала. Что и видно из таблиц 1 и 2. Граничная частота fc, рассчитанная по Беренгеру, - это граница, ниже которой результат счета становится практически негодным. Для получения хорошей точности за нижнюю частоту лучше брать частоту, равную 5fc. Между fc и 5fc возникает периодически меняющая знак и растущая ошибка.

Простые граничные условия, кроме 1/R, с поставленной задачей не справились. Условия 1/R дали большую погрешность. Замечено, что условия RT-ABC в некоторых случаях конфликтуют с условиями симметрии. Возможно, в данной задаче это и произошло.

Для того, чтобы представление о различиях в счете стало полным, представим на одном графике поле Н на расстоянии 2 м для всех граничных условий:

Выводы и утешения

Картина расчетов продемонстрировала возможность PML.

Никудышный результат по условиям ABC вовсе не ставит крест на них. Разгадка плохого результата в следующем. Все условия АВС рассчитаны на определенное соотношение полей E и H. В программе применяется соотношение E/H=377, т.е. для плоских ЭМ волн в вакууме. В тестовой задаче E/H => 0, поэтому такой результат. Зато условия PML хороши! Им неважно соотношение E/H.

Тем, кто решает квазистатические задачи, нужно помнить об этих особенностях граничных условий.

Что касается выбора коэффициента отражения PML, то здесь его влияние невелико. Будет он 0,01 или 0,0001 не столь важно, только нижняя граничная частота изменится при фиксированном количестве слоев. Беренгер предлагает всегда брать 0,01. Но он не прав. Есть случаи, когда требуется брать очень низкий коэффициент отражения. Это случай, когда рассеянные волны преимущественно движутся под очень острыми углами к границам. Например, длинный диполь длиной 500 ячеек размещен в объеме 20х520х20 ячеек. Волны, движущиеся вдоль диполя, к границам подходят под очень малым углом и задаваемый коэффициент отражения 0,01 оказывается велик. Падает резонансная частота диполя, искажается его входное сопротивление. Увеличение количества слоев PML эффекта не приносит. В данном случае задание коэффициента отражения 0,0001 радикально улучшает точность.