Описание программы FDTDpro

Граничные условия

В FDTDpro граничные условия устанавливаются для каждой грани счетного объема индивидуально.

Виды условий, доступные в FDTDpro:

- PML с любым количеством слоев;

- Условия Мура 1-го порядка;

- Условия симметрии по Е и Н;

- Условия идеальных проводников (PEC);

- Условия RT- ABC и 1/R. Могут быть удалены из программы ввиду наличия более эффективных условий PML и более быстрых условий Мура.

Выбор поглощающих граничных условий имеет очень важное значение. Выбор этих граничных условий означает не только выбор вида этих условий и их параметров, но и расстояния от объекта до границ.

Правильный выбор поглощающих граничных условий – это оптимальный компромисс между требуемыми вычислительными ресурсами и точностью вычислений. Найти его можно только экспериментальным путем. Например, некоторая задача несколько раз запускается с разными условиями на границах: с разным числом слоев PML, разным коэффициентом отражения и с разным расстоянием до границ. Этот путь легко осуществить для маленьких быстрых задач. Но при решении задачи, на вычисление которой требуется несколько часов или суток, лучше сразу перестраховаться: расстояние до границ выбрать в два раза больше минимально рекомендуемого, количество слоев увеличить в 1,5-2 раза, коэффициент отражения уменьшить на порядок, а то и на два-три. Разумеется, большую роль в выборе границ играет собственный опыт и понимание ожидаемых результатов расчетов.

Условия поглощения Мура

В программе FDTDpro применяются условия поглощения Мура 1-го порядка (Mur, 1981).

Эти условия требуют мало вычислительных ресурсов и поэтому довольно быстрые. Имеют небольшой коэффициент отражения при падении волны под прямым углом, если отношение E/H=120π (пишут, что менее 1%). Условия устойчивы, просты в реализации.

Но если волна падает на границу Мура под меньшим углом, отражение быстро растет вплоть до 100 % при угле, близком к нулю. Отражение растет и при отношение E/H не равном 120π.

Чтобы отношение E/H было как можно ближе к 120π границы нужно отодвигать от объекта как можно дальше.

В литературе часто встречается, что расстояние до границ должно быть "не менее 1/6 длины волны", а также противоречащее этому требование "не менее 15 ячеек". И то, и другое в общем случае неверно. Приемлемый результат обычно получается при расстоянии не менее 1/3 длины волны, а для широкополосного импульса не менее половины резонансной объекта. Из-за этого поглощения Мура требуют большого счетного объема.

Отличаются условия тем, что некую линию передачи, например коаксиальную или полосковую, можно "упереть" в границу под прямым углом - и обеспечена бесконечная линия передачи. Только линия должна быть без диэлектрического заполнения.

Условия Мура нельзя устанавливать для какой-либо грани, если на соседней грани условия PML.

Условия PML

Условия PML (perfectly matched layer - идеально сочетающиеся слои) стали революционным прорывом в граничных условиях (Berenger, 1994-1996). До этого были известны условия ML (сочетающиеся слои), которые в общем случае работали не лучше, чем простые условия поглощения. Беренгер предложил новую схему, разбив каждый вектор ячейки Yee на два параллельных вектора (например, Ex=Exy+Exz).

Условия PML отражают в сотни, а то и в тысячи раз меньше, чем лучшие условия поглощения. Расстояние от объекта до границ PML, по литературным источникам, должно быть не менее 8 ячеек, но даже при расстоянии в 1 ячейку можно проводить расчеты, и они могут быть точнее, чем с условиями Мура при 1/6 длине волны до границ.

Между тем, условия PML имеют нижнюю граничную частоту, которая снижается с ростом количества слоев PML и с их толщиной (т.е. шагом по пространству). Это можно сравнить с явлением скин - эффекта, когда на низкой частоте электромагнитные волны глубже проникают в проводник (меньше затухают с глубиной). Дело в том, что при расчетах задается определенное количество PML-слоев, которые сами не имеют граничных условий на внешней границе, и волна, пройдя все слои PML, отражается обратно. Если по пути туда и обратно волна недостаточно поглотится слоями PML, то часть ее вернется в счетный объем. А поглощается электромагнитная энергия в границах PML тем быстрее, чем выше частота.

Каждый слой PML имеет как магнитные, так и электрические потери, подобранные таким образом, что отражение на границе раздела практически отсутствует.

От слоя к слою потери растут параболически или геометрически.

Закон изменения потерь он слоя к слою называется профилем потерь. В программе FDTDpro он называется PML профиль.

На самом первом слое потери выбираются минимальными для минимизации отражения на границе раздела (воздух) - (PML-слой). Этот параметр называется коэффициентом отражения.

В программе FDTDpro реализован классический алгоритм Беренгера с небольшими корректировками, взятыми у Тафлава (Taflove). Между объектом и границей обязательно должно быть пустое пространство. Перед расчетом задается количество слоев PML и коэффициент отражения. Сразу же вычисляется нижняя граничная частота. При исследовании переходных и резонансных процессов, как показывает практика, нижняя граничная частота должна быть в 5-10 раз ниже, чем резонансная частота объекта. Обычно 8 слоев PML достаточно, но может потребоваться и гораздо больше. Для простейших случаев можно брать 4 слоя. 3-4 слоя часто дают такой же результат, что и условия Мура, а то и лучше.

Высокая точность вычислений с PML- границами омрачается тем, что PML - границы требуют довольно много ресурсов.

Условия PML нельзя смешивать с условиями Мура, но можно использовать совместно с условиями симметрии и отражения (PEC).

При выборе профиля потерь следует руководствоваться минимальной частотой. А коэффициент отражения в программе задается относительно единицы. Например, 0.01 – это 1 %. На практике коэффициент отражения выбирается в диапазоне 0,001…0,0001 %.

Условия симметрии и отражения

Если расчетная задача (именно вся задача, а не только один объект) имеет плоскости симметрии, то можно применять условия симметрии.

Например, решается задача излучения диполя в свободном пространстве с источником напряжения в центре. Считаем, что диполь расположен вертикально. В этом случае горизонтальная плоскость, проходящая через центр диполя делит пространство на две части, в каждой из которых картина магнитного поля одинакова, но зеркальная относительно плоскости сечения. Зеркалом в данном случае служит симметрия по полю Н в плоскости сечения.

В приведенном примере можно добавить еще две взаимно перпендикулярные плоскости, продольно рассекающие диполь. При этом на введенных плоскостях зеркально будут отображаться картины поля Е, и, следовательно, можно применить условия симметрии по полю Е. Каждая плоскость симметрии уменьшает счетный объем вдвое, поэтому диполь можно рассчитать в объеме, который в восемь раз меньше полного.

Картина поля бывает симметричной по трем плоскостям лишь в крайне редких случаях. Да и по двум нечасто. А симметричные по одной плоскости задачи встречаются довольно часто. Например, объекты на поверхности земли, если землю считают идеальным проводником, геометрически симметричные объекты, когда вектор Е или H параллелен или перпендикулярен геометрической плоскости симметрии, симметричные линии передачи и т.п.

В программе можно применять условия симметрии по Е и по Н. Условия симметрии в программе FDTDpro НЕЧЕТНЫЕ, т.е. плоскость симметрии находится за пол-ячейки от границы. Ячейка, расположенная у самой границы, отображается сама на себя.

Интересно еще одно возможное применение условий симметрии. Пусть в программе FDTDpro плоская волна распространяется вдоль оси X, вектор Е направлен параллельно оси Y (ось Y вертикальная), вектор Н параллелен оси Z (ось Z направлена к нам). Тогда, поставив на верхней и нижней границах симметрию по Н, а на ближней и дальней границах симметрию по Е, получим почти одномерную задачу, которая решается очень быстро, потому что размер по Y и Z можно задать всего по 3 ячейки. Одномерная задача - это, например, проникновение нормально падающего поля в грунт и другие материальные среды, отражение от этих материальных сред. Аналогично можно сделать "почти двумерную" задачу, применив симметрию только на двух границах. Условия симметрии взяты у Тафлава (1975).

Условия отражения (PEC) - это на самом деле отсутствие каких-либо специальных граничных условий. На границах тангенциальные составляющие поля Е равны нулю, т.е. это идеально проводящие поверхности (PEC - perfect electric conductor). Их можно использовать как стенки волноводов, резонаторов, как подстилающую поверхность.

Условия симметрии и PEC не применяются при вычислениях дальнего поля.